воскресенье, 6 апреля 2014 г.

Олимпиадные задачи по математике с решениями 6 - 11 класс

Олимпиадные задания по математике с ответами и решениями.

Задачи по математике, физике, логике, информатике.

Полезные ссылки. Все самое интересное и познавательное.

Задача.
Каждая грань параллелепипедной коробки с ребрами 3, 4, 5 разделена на единичные квадратики.
Можно ли вписать во все квадратики по числу так, чтобы сумма чисел в каждом клетчатом кольце ширины 1, опоясывающем коробку, равнялась 120?

Ответ: можно.
Поверхность коробки состоит из двух граней 3 × 4, двух граней 3 × 5 и двух граней 4 × 5.
Запишем во все клетки первых двух граней по числу а,
во все клетки вторых двух граней по числу b,
и во все клетки оставшихся двух граней по числу с.
Требование задачи будет выполняться, если будут верны равенства
2(4а + 5b) = 120.
2(3а + 5с) = 120,
2(3b + 4с) = 120.
Из первых двух равенств получаем, что 4(3а + 5с) – 3(4а + 5b) = 60, откуда 20с – 15b = 60.
Учитывая третье равенство, находим, что b = 8, с = 9, и из первого равенства находим а = 5.
Найденные числа удовлетворяют условию.

Решите сами: Каждая грань кирпича с ребрами 3, 4, 5 разделена на единичные квадратики. Можно ли вписать во все квадратики по числу так, чтобы сумма чисел в каждом клетчатом кольце ширины 1, опоясывающем кирпич, равнялась 2007?
(Решение обосновать: если можно, то расставить числа, если нельзя, то доказать, почему).



2. В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002- угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?

Алгебра и арифметика.

Задачи, предлагавшиеся на математических кружках, олимпиадах, турнирах, вступительных экзаменах, в популярных сборниках.

Имеются ответы, оценка уровня сложности, тематический рубрикатор.
Олимпиада по математике. Решение всех задач по математике ОГЭ ГИА.

3. Саша и Маша загадали по натуральному числу и сказали их Васе. Вася написал на одном месте бумаги сумму загаданных чисел, а на другом их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нем оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?


Решение олимпиадных задач.

Математические олимпиады не только помогают оценить степень математической подготовленности учеников, но и выявить наиболее одаренных и подготовленных учащихся в области математики. Смотрите:
При каком значении прямая имеет с параболой ровно одну общую точку?

4. а) В классе была одна контрольная работа.
Известно, что по крайней мере две трети задач этой контрольной оказались трудными:
каждую такую задачу не решили по крайней мере две трети школьников.
Известно также, что по крайней мере две трети школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере две трети задач контрольной.
Могло ли такое быть?
б) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на три четверти?
в) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на семь десятых?



5. На столе лежат 2002 карточки с числами 1, 2, 3, …, 2002. Двое играющих берут по одной карточке по очереди. После того, как будут взяты все карточки, выигравшим считается тот, у кого больше последняя цифра суммы чисел на взятых карточках. Выясните, кто из играющих может всегда выиграть независимо от игры противника, и объясните, как он должен при этом играть.

6. Дан некоторый угол и точка А внутри угла. Можно ли провести через точку О три прямые так, чтобы на каждой из сторон угла одна из точек пересечения этих прямых со стороной лежала посередине между двумя другими точками пересечения прямых с этой же стороной?


Олимпиадные задачи в математике — термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход.
Олимпиадные задачи получили своё название от популярных соревнований школьников и студентов.
Покупайте литературу с разобранными олимпиадными задачами.
Посещайте сайты, специализирующиеся на решении подобных задач.

Логические задачи по математике. Ответы. Сборники олимпиадных задач.

Здесь собраны условия и решения задач математической регаты, математических боёв, командной и личной олимпиады, а также от репетитора МФТИ.

Олимпиадные задания.

Смотрите далее видео:
Координаты на прямой и плоскости. На координатной прямой отмечены числа.
Ответы и решения. Условия задач. Задачи олимпиады по информатике.
Олимпиадные задания по математике физике химии информатике для 9 10 11 класса Подробное решение всех представленных на сайте заданий олимпиад.